Раздел 1

🧠 Простое объяснение: Комплексные числа

Формальное определение комплексного числа

Комплексное число z в алгебраической форме записывается как:

z = a + bi

где:

• a ∈ ℝ - действительная часть (Re z)
• b ∈ ℝ - мнимая часть (Im z)
• i - мнимая единица, где i² = -1

Геометрическая интерпретация

Комплексное число можно представить как точку на комплексной плоскости:

• Ось абсцисс - действительная часть (Re z)
• Ось ординат - мнимая часть (Im z)

Модуль комплексного числа

Определение: Расстояние от точки (a,b) до начала координат.

|z| = √(a² + b²)

Свойства модуля:

• |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0
• |-z| = |z|
• |z₁z₂| = |z₁|·|z₂|
• |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂| (z₂ ≠ 0)
• |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| (неравенство треугольника)

Аргумент комплексного числа

Определение: Угол между положительной частью действительной оси и вектором, соединяющим начало координат с точкой z.

arg z = φ ∈ (-π, π], где tan φ = b/a

Главное значение аргумента: φ ∈ (-π, π]

Аргумент определен с точностью до: arg z = φ + 2πk, k ∈ ℤ

Сопряженное комплексное число

z̄ = a - bi

Свойства:

• |z̄| = |z|
• arg z̄ = -arg z
• z + z̄ = 2 Re z
• z · z̄ = |z|²
• (z̄)̄ = z

Примеры

Тригонометрическая форма комплексного числа

Теорема Эйлера: e^iφ = cos φ + i sin φ

Тригонометрическая форма:

z = |z|(cos φ + i sin φ)

где |z| - модуль, φ = arg z - аргумент.

Показательная форма:

z = |z|e^iφ

Операции с комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение:

z₁z₂ = |z₁||z₂|[cos(φ₁+φ₂) + i sin(φ₁+φ₂)]

Геометрический смысл: Модули перемножаются, аргументы складываются.

Деление:

z₁/z₂ = (|z₁|/|z₂|)[cos(φ₁-φ₂) + i sin(φ₁-φ₂)]

Геометрический смысл: Модули делятся, аргументы вычитаются.

Возведение в степень:

zⁿ = |z|ⁿ(cos(nφ) + i sin(nφ))

Извлечение корня n-й степени:

Определение: Корень n-й степени имеет n различных значений.

√[n]{z} = √[n]{|z|}(cos((φ+2πk)/n) + i sin((φ+2πk)/n))

для k = 0, 1, …, n-1

Основные формулы тригонометрии

Формулы Муавра:

• (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ)
• cos(nφ) = cosⁿ φ - Cⁿ₁ cosⁿ⁻¹ φ sin φ + … + (-1)ⁿ sinⁿ φ
• sin(nφ) = Cⁿ₁ cosⁿ⁻¹ φ sin φ - Cⁿ₂ cosⁿ⁻² φ sin² φ + … + (-1)ⁿ⁻¹ sinⁿ φ

Примеры

Поле действительных чисел

Определение поля: Множество с двумя бинарными операциями (+ и ·), удовлетворяющими определенным аксиомам.

Аксиомы поля действительных чисел

Аксиомы сложения (абелева группа):

1. Замкнутость: ∀a,b ∈ ℝ ∃! c ∈ ℝ: a + b = c
2. Коммутативность: a + b = b + a
3. Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c)
4. Существование нейтрального элемента: ∃0 ∈ ℝ: a + 0 = a ∀a ∈ ℝ
5. Существование обратного элемента: ∀a ∈ ℝ ∃(-a) ∈ ℝ: a + (-a) = 0

Аксиомы умножения (абелева группа без нуля):

1. Замкнутость: ∀a,b ∈ ℝ ∃! c ∈ ℝ: a · b = c
2. Коммутативность: a · b = b · a
3. Ассоциативность: (a · b) · c = a · (b · c)
4. Существование нейтрального элемента: ∃1 ∈ ℝ, 1 ≠ 0: a · 1 = a ∀a ∈ ℝ
5. Существование обратного элемента: ∀a ∈ ℝ, a ≠ 0 ∃a⁻¹ ∈ ℝ: a · a⁻¹ = 1

Аксиома дистрибутивности:

a · (b + c) = a · b + a · c

Принцип Архимеда

Формулировка: Для любых положительных чисел a, b существует натуральное число n такое, что:

n · a > b

Следствия:

• ℚ плотно в ℝ (между любыми двумя рациональными числами есть рациональное)
• ℚ неполно (существуют пределы последовательностей рациональных чисел, не являющиеся рациональными)
• Любое вещественное число может быть приближено рациональными с любой точностью

Свойства действительных чисел

• Упорядоченность: ∀a,b ∈ ℝ: либо a < b, либо a = b, либо a > b
• Полнота: Любое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань
• Связность: ℝ не может быть представлено как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств

Конструкция действительных чисел

Действительные числа можно построить как:

• Через последовательности рациональных чисел (Кантор)
• Через Dedekind'овы сечения
• Через бесконечные десятичные дроби

Примеры применения аксиом

Определение последовательности

Числовая последовательность: функция, определенная на множестве натуральных чисел ℕ = {1,2,3,…} со значениями в ℝ или ℂ.

Обозначения:

• {xₙ} или {xₙ}_n=1^∞
• x₁, x₂, …, xₙ, …
• (xₙ)

Типы последовательностей

• Ограниченная: ∃M>0: |xₙ| ≤ M ∀n∈ℕ
• Ограниченная сверху/снизу: ∃M: xₙ ≤ M ∀n (сверху)
• Монотонная: возрастающая (xₙ ≤ xₙ₊₁) или убывающая (xₙ ≥ xₙ₊₁)
• Строго монотонная: возрастающая (xₙ < xₙ₊₁) или убывающая (xₙ > xₙ₊₁)

Предел последовательности

Определение (по Коши):

lim_n→∞ xₙ = a ⇔ ∀ε>0 ∃N∈ℕ ∀n>N: |xₙ - a| < ε

Определение (по Гейне):

Для любой последовательности {nₖ} → ∞ выполняется {xₙₖ} → a

Свойства сходящихся последовательностей

• Ограниченность: Каждая сходящаяся последовательность ограничена
• Уникальность предела: Если lim xₙ = a и lim xₙ = b, то a = b
• Арифметические операции:
  • lim (xₙ ± yₙ) = lim xₙ ± lim yₙ
  • lim (c·xₙ) = c·lim xₙ
  • lim (xₙ · yₙ) = lim xₙ · lim yₙ
  • lim (xₙ/yₙ) = lim xₙ / lim yₙ (если lim yₙ ≠ 0)

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Бесконечно малая: lim αₙ = 0

Бесконечно большая: lim βₙ = ∞ (∀M>0 ∃N: |βₙ| > M ∀n>N)

Теорема: xₙ → a ⇔ xₙ = a + αₙ, где αₙ - бесконечно малая

Критерий Коши сходимости

Теорема: Последовательность сходится ⇔ ∀ε>0 ∃N ∀n,m>N: |xₙ - xₘ| < ε

Примеры

Если xₙ ≤ yₙ для всех n и lim xₙ = a, lim yₙ = b, то a ≤ b.

Если xₙ < yₙ для всех n и существует lim xₙ = a, lim yₙ = b, то a ≤ b.

Подпоследовательность: последовательность, получаемая из исходной выбором бесконечного числа членов с возрастающими индексами.

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Верхний предел:

lim_n→∞ sup xₙ = inf_n sup_k≥n xₖ

Нижний предел:

lim_n→∞ inf xₙ = sup_n inf_k≥n xₖ

Критерий Коши: Последовательность {xₙ} сходится ⇔ ∀ε>0 ∃N ∀n,m>N: |xₙ - xₘ| < ε

Число e:

e = lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ

Предел функции в точке

Определение (по Коши):

lim_x→a f(x) = A ⇔ ∀ε>0 ∃δ=δ(ε)>0 ∀x∈D(f): 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-A|<ε

Определение (по Гейне):

Для любой последовательности {xₙ} ⊂ D(f), xₙ → a (xₙ ≠ a), выполняется f(xₙ) → A

Односторонние пределы

• Предел слева: lim_x→a- f(x) = A ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x: a-δ
• Предел справа: lim_x→a+ f(x) = A ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x: a

Теорема: lim_x→a f(x) = A ⇔ lim_x→a- f(x) = A и lim_x→a+ f(x) = A

Свойства пределов

• Уникальность: Если предел существует, то он единственный
• Локальная ограниченность: Если lim f(x) = A, то f ограничена в окрестности a
• Арифметические операции:
  • lim (f±g) = lim f ± lim g
  • lim (f·g) = lim f · lim g
  • lim (f/g) = lim f / lim g (если lim g ≠ 0)
  • lim (c·f) = c·lim f
• Переход к пределу в неравенствах: Если f(x) ≤ g(x) в окрестности a, то lim f ≤ lim g

Классификация точек разрыва

• Разрыв 1-го рода: Существуют конечные односторонние пределы, но lim_x→a- f(x) ≠ lim_x→a+ f(x)
• Разрыв 2-го рода: Хотя бы один односторонний предел равен ∞ или не существует
• Устранимый разрыв: lim_x→a f(x) = A ≠ f(a) или предел существует, но f(a) не определена

Примеры

Предел на бесконечности:

lim_x→∞ f(x) = A ⇔ ∀ε>0 ∃M>0 ∀x: |x|>M ⇒ |f(x)-A| < ε

Предел на +∞:

lim_x→+∞ f(x) = A ⇔ ∀ε>0 ∃M>0 ∀x>M ⇒ |f(x)-A| < ε

Односторонние пределы:

lim_x→a- f(x) = A (слева)

lim_x→a+ f(x) = A (справа)

Бесконечно малая функция:

lim_x→a α(x) = 0

Бесконечно большая функция:

lim_x→a β(x) = ∞

Арифметические операции:

• lim (f ± g) = lim f ± lim g
• lim (f · g) = lim f · lim g
• lim (f/g) = lim f / lim g (если lim g ≠ 0)

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

lim_x→0 sin x / x = 1

Второй замечательный предел:

lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e

Следствия:

• lim_x→0 (1 - cos x)/x² = 1/2
• lim_x→0 (e^x - 1)/x = 1
• lim_x→0 ln(1+x)/x = 1

Эквивалентные бесконечно малые

• sin x ~ x при x→0
• tan x ~ x при x→0
• e^x - 1 ~ x при x→0
• ln(1+x) ~ x при x→0
• 1 - cos x ~ x²/2 при x→0
• arcsin x ~ x при x→0
• arctan x ~ x при x→0

Главная часть функции

Главная часть функции f(x) при x→a - это бесконечно малая функция α(x), такая что f(x) = C + α(x), где C = const.

Эквивалентные бесконечно малые:

• sin x ~ x при x→0
• tan x ~ x при x→0
• e^x - 1 ~ x при x→0
• ln(1+x) ~ x при x→0
• 1 - cos x ~ x²/2 при x→0
• arcsin x ~ x при x→0
• arctan x ~ x при x→0

Сравнение бесконечно больших:

Если α и β - бесконечно малые, то α = o(β) означает lim α/β = 0

Функция f(x) непрерывна в точке x₀, если:

lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)

Арифметические операции над непрерывными функциями:

• Сумма непрерывных функций непрерывна
• Произведение непрерывных функций непрерывно
• Частное непрерывно, если знаменатель ≠ 0
• Композиция непрерывных функций непрерывна

Все элементарные функции непрерывны в области определения:

• Многочлены
• Рациональные функции (кроме точек, где знаменатель = 0)
• Степенные функции x^α (α > 0)
• Показательные функции
• Логарифмические функции
• Тригонометрические функции
• Обратные тригонометрические функции

Односторонняя непрерывность:

• Непрерывна слева в x₀: lim_x→x₀- f(x) = f(x₀)
• Непрерывна справа в x₀: lim_x→x₀+ f(x) = f(x₀)

Классификация точек разрыва:

• Разрыв 1-го рода: существуют конечные односторонние пределы, но f(x₀-) ≠ f(x₀+)
• Разрыв 2-го рода: хотя бы один односторонний предел равен ∞ или не существует
• Устранимый разрыв: f(x₀-) = f(x₀+) ≠ f(x₀) или предел существует, но не равен f(x₀)

Для монотонной функции:

• Разрывы только 1-го рода
• В точке разрыва скачок конечен

Свойства функций, непрерывных на отрезке [a,b]:

• Теорема Вейерштрасса: достигает max и min
• Теорема Больцано-Коши: принимает все промежуточные значения