Раздел 3

Определение функции нескольких переменных

Функция двух переменных: Закон f, который каждой упорядоченной паре (x,y) ∈ D ⊂ ℝ² ставит в соответствие единственное число z ∈ ℝ.

Обозначения:

• z = f(x,y)
• z = f(x,y) = x² + xy + y²
• Область определения D ⊂ ℝ²

Геометрическая интерпретация: График функции - поверхность в ℝ³.

Предел функции двух переменных

Определение по Коши:

lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y) = A ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 ∀(x,y)∈D: 0<√((x-x₀)²+(y-y₀)²)<δ ⇒ |f(x,y)-A|<ε

Определение по Гейне:

Для любой последовательности {(xₙ,yₙ)} → (x₀,y₀), {(xₙ,yₙ)} ≠ (x₀,y₀), выполняется f(xₙ,yₙ) → A

Свойства пределов:

• Уникальность предела
• lim (f±g) = lim f ± lim g
• lim (f·g) = lim f · lim g
• lim (f/g) = lim f / lim g (если lim g ≠ 0)
• lim c·f = c·lim f

Непрерывность функции двух переменных

Определение: Функция f(x,y) непрерывна в точке (x₀,y₀), если:

lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y) = f(x₀,y₀)

Непрерывность в области: Функция непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой точке D.

Свойства непрерывных функций:

• Сумма, разность, произведение непрерывных функций непрерывны
• Частное непрерывно, если знаменатель ≠ 0
• Композиция непрерывных функций непрерывна
• Элементарные функции непрерывны в области определения

Классификация точек разрыва

• Разрыв 1-го рода: Существуют конечные односторонние пределы
• Разрыв 2-го рода: Хотя бы один предел равен ∞ или не существует
• Устранимый разрыв: Предел существует, но f(x₀,y₀) не определена

Примеры

Линейные приближения и приближенные вычисления

Для непрерывных функций:

f(x+Δx, y+Δy) ≈ f(x,y) + ∂f/∂x · Δx + ∂f/∂y · Δy

Частная производная по x:

∂f/∂x = lim_h→0 [f(x₀+h,y₀) - f(x₀,y₀)]/h

Частная производная по y:

∂f/∂y = lim_h→0 [f(x₀,y₀+h) - f(x₀,y₀)]/h

Геометрический смысл: ∂f/∂x - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности z = f(x,y) с плоскостью y = const.

Дифференцируемость: Функция дифференцируема в (x₀,y₀), если

Δz = ∂f/∂x · Δx + ∂f/∂y · Δy + α(Δx,Δy)·√(Δx²+Δy²)

где α(Δx,Δy) → 0 при √(Δx²+Δy²) → 0

Необходимое условие: Существование частных производных ∂f/∂x и ∂f/∂y.

Достаточное условие: Если частные производные ∂f/∂x и ∂f/∂y непрерывны в окрестности точки (x₀,y₀), то f(x,y) дифференцируема в этой точке.

Полный дифференциал:

dz = ∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy

Приближенные вычисления:

f(x₀+dx,y₀+dy) ≈ f(x₀,y₀) + ∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy

Для функции двух переменных абсолютная погрешность:

|Δf| ≈ |∂f/∂x · Δx| + |∂f/∂y · Δy|

Частные производные второго порядка:

• ∂²f/∂x² - вторая смешанная по x
• ∂²f/∂x∂y - смешанная
• ∂²f/∂y∂x - смешанная
• ∂²f/∂y² - вторая смешанная по y

Теорема о равенстве смешанных производных: Если ∂²f/∂x∂y и ∂²f/∂y∂x непрерывны, то ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x.

Дифференциалы высших порядков:

d²z = d(dz) = ∂²f/∂x² (dx)² + 2∂²f/∂x∂y dx dy + ∂²f/∂y² (dy)²

Дифференциал n-го порядка:

dⁿz = (∂ⁿf/∂xⁿ) (dx)ⁿ + Cⁿₖ ∂ⁿf/∂xⁿ⁻ᵏ∂yᵏ (dx)ⁿ⁻ᵏ(dy)ᵏ

где Cⁿₖ - биномиальные коэффициенты.

Сложная функция: z = f(u,v), u = φ(x,y), v = ψ(x,y)

Частные производные:

∂z/∂x = ∂z/∂u · ∂u/∂x + ∂z/∂v · ∂v/∂x

∂z/∂y = ∂z/∂u · ∂u/∂y + ∂z/∂v · ∂v/∂y

Полный дифференциал:

dz = ∂z/∂u du + ∂z/∂v dv

Неявная функция: F(x,y,z) = 0 определяет z = f(x,y)

Дифференцирование:

∂z/∂x = -Fₓ/F_z, ∂z/∂y = -F_y/F_z

где Fₓ = ∂F/∂x и т.д.

Уравнение поверхности: F(x,y,z) = 0

Касательная плоскость:

Fₓ(x₀,y₀,z₀)(x-x₀) + F_y(x₀,y₀,z₀)(y-y₀) + F_z(x₀,y₀,z₀)(z-z₀) = 0

Нормаль к поверхности:

x-x₀/Fₓ = y-y₀/F_y = z-z₀/F_z

Полный дифференциал dz = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy представляет собой приращение функции вдоль касательной плоскости к поверхности z = f(x,y).

Локальный экстремум: Точка (x₀,y₀) - точка локального максимума (минимума), если ∃δ>0 ∀(x,y)∈U_δ: f(x,y) ≤ f(x₀,y₀) (f(x,y) ≥ f(x₀,y₀)).

Необходимое условие: ∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0 в критической точке.

Достаточное условие: Пусть D = fₓₓf_yy - fₓy²

• Если D > 0 и fₓₓ > 0, то минимум
• Если D > 0 и fₓₓ < 0, то максимум
• Если D < 0, то седловая точка
• Если D = 0, то требуется дополнительное исследование

Условный экстремум: Экстремум функции f(x,y) при условии φ(x,y) = 0.

Метод Лагранжа: Составляем функцию Лагранжа

L(x,y,λ) = f(x,y) + λφ(x,y)

Решаем систему:

∂L/∂x = 0, ∂L/∂y = 0, ∂L/∂λ = 0

Производная по направлению:

∂f/∂l = lim_t→0 [f(P₀ + t·l) - f(P₀)]/t

Выражение через частные производные:

∂f/∂l = ∂f/∂x · cos α + ∂f/∂y · cos β

Градиент:

grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

Свойства градиента:

• ∂f/∂l = |grad f| · cos φ, где φ - угол между l и grad f
• Максимум производной по направлению: |grad f|
• Направление максимального роста: grad f

Теорема Вейерштрасса: Непрерывная функция на компактном множестве достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Алгоритм нахождения экстремумов:

1. Найти критические точки (∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0)
2. Исследовать точки на границе области
3. Вычислить значения функции в найденных точках
4. Сравнить значения