Раздел 2

Мотивация понятия производной

Задача о касательной: Найти уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀.

Задача о скорости: Найти мгновенную скорость движения, если известен закон движения s = s(t).

Задача о мгновенной скорости изменения: Найти скорость изменения одной величины относительно другой.

Определение производной

Основное определение:

f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Если предел существует, функция дифференцируема в точке x₀.

Геометрический смысл: f'(x₀) = k - угловой коэффициент касательной к графику y = f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Механический смысл: Если s = s(t) - закон движения, то v(t) = s'(t) - мгновенная скорость.

Односторонние производные

• Правая производная: f'₊(x₀) = lim_Δx→0+ [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx
• Левая производная: f'_-(x₀) = lim_Δx→0- [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Теорема: f'(x₀) существует ⇔ f'₊(x₀) = f'_-(x₀)

Связь с непрерывностью

Теорема: Если функция дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Обратное неверно: Пример: f(x) = |x| непрерывна в x=0, но не дифференцируема.

Примеры вычисления производных

Геометрический смысл: f'(x₀) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (x₀, f(x₀)).

Таблица производных элементарных функций

Основные элементарные функции:

Функция f(x)	Производная f'(x)	Область определения
c (const)	0	ℝ
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	ℝ (n∈ℕ) или x>0 (n∉ℕ)
√x	1/(2√x)	x > 0
sin x	cos x	ℝ
cos x	-sin x	ℝ
tg x	1/cos² x	x ≠ π/2 + πk
ctg x	-1/sin² x	x ≠ πk
eˣ	eˣ	ℝ
aˣ	aˣ·ln a	ℝ
ln x	1/x	x > 0
logₐ x	1/(x·ln a)	x > 0
arcsin x	1/√(1-x²)	|x| < 1
arccos x	-1/√(1-x²)	|x| < 1
arctg x	1/(1+x²)	ℝ
arcctg x	-1/(1+x²)	ℝ

Производная обратной функции

Теорема: Если функция y = f(x) имеет обратную x = φ(y), и f'(x₀) ≠ 0, то:

φ'(y₀) = 1/f'(x₀)

Пример: (arcsin x)' = 1/√(1-x²), так как (sin x)' = cos x = √(1-sin² x) = √(1-x²)

Дифференциал функции

Определение: dy = f'(x)·dx

Геометрический смысл: Дифференциал dy - приращение ординаты касательной.

Формула приращения:

Δy = dy + o(dx) = f'(x₀)·Δx + α(Δx)·Δx

где α(Δx) → 0 при Δx → 0

Инвариантность формы дифференциала: dy сохраняет вид независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией.

Основные правила дифференцирования

Правила для суммы, разности и постоянного множителя:

• Производная суммы: (u ± v)' = u' ± v'
• Производная произведения на константу: (c·u)' = c·u'
• Производная разности: (u - v)' = u' - v'

Производная произведения:

(u·v)' = u'·v + u·v'

Доказательство: lim_Δx→0 [(u+Δu)(v+Δv) - u·v]/Δx = lim_Δx→0 [u·Δv + v·Δu + Δu·Δv]/Δx

= lim_Δx→0 u·(Δv/Δx) + lim_Δx→0 v·(Δu/Δx) + lim_Δx→0 (Δu/Δx)·Δv = u'·v + u·v'

Производная частного:

(u/v)' = (u'·v - u·v')/v²

При v ≠ 0

Производная сложной функции (цепное правило):

(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

Геометрический смысл: Скорость изменения внешней функции относительно внутренней, умноженная на скорость изменения внутренней функции.

Производные сложных функций

• (sin u)' = cos u · u'
• (cos u)' = -sin u · u'
• (eᵘ)' = eᵘ · u'
• (ln u)' = (1/u) · u'
• (uᵛ)' = uᵛ · (v'·ln u + v·u'/u)

Примеры применения правил

Логарифмическое дифференцирование

Метод: Для функций вида y = u(x)ᵛˣ⁽ˣ⁾ или сложных выражений:

1. Прологарифмировать обе части: ln y = v(x) · ln u(x)
2. Продифференцировать: (1/y)·y' = v'·ln u + v·(1/u)·u'
3. Выразить y': y' = y · [v'·ln u + v·(u'/u)]

Односторонние производные

Правая производная:

f'₊(x₀) = lim_h→0+ [f(x₀+h) - f(x₀)]/h

Левая производная:

f'_-(x₀) = lim_h→0- [f(x₀+h) - f(x₀)]/h

Теорема: f дифференцируема в x₀ ⇔ f'₊(x₀) = f'_-(x₀) = f'(x₀)

Дифференцируемость функции

Определение: Функция f(x) дифференцируема в точке x₀, если приращение функции можно представить в виде:

Δy = f'(x₀)·Δx + α(Δx)·Δx

где α(Δx) → 0 при Δx → 0, или в эквивалентной форме:

Δy = f'(x₀)·Δx + o(Δx)

Связь с непрерывностью: Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Обратное неверно: Непрерывная функция может не быть дифференцируемой (пример: f(x) = |x|).

Дифференциал функции

Определение:

dy = f'(x) · dx

Геометрический смысл: Дифференциал dy равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции.

Основные свойства дифференциала:

• d(c) = 0, где c - константа
• d(x) = dx
• d(c·u) = c·du
• d(u ± v) = du ± dv
• d(u·v) = v·du + u·dv
• d(u/v) = (v·du - u·dv)/v²

Инвариантность формы дифференциала

Теорема: Формула dy = f'(x)·dx не зависит от того, является ли x независимой переменной или функцией от другой переменной.

Доказательство: Пусть x = φ(t), тогда y = f(φ(t))

dy/dt = f'(φ(t)) · φ'(t) = f'(x) · dx/dt

Следовательно, dy = f'(x) · dx

Применение дифференциала

Приближенные вычисления:

f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·Δx

или

f(x₀ + dx) ≈ f(x₀) + df(x₀)

Относительная и абсолютная погрешности:

• Абсолютная погрешность: |Δf| ≈ |f'(x)·Δx|
• Относительная погрешность: |Δf/f| ≈ |f'(x)·Δx / f(x)|

Примеры

Параметрически заданные функции:

x = φ(t), y = ψ(t)

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)

Неявные функции:

F(x,y) = 0

dy/dx = -Fₓ/F_y

Производная n-го порядка:

f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿy/dxⁿ

Дифференциал n-го порядка:

dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x) (dx)ⁿ

Для параметрически заданных функций:

d²y/dx² = (d/dt)(dy/dx) / (dx/dt)

Теорема Ферма: Если f(x) имеет экстремум во внутренней точке (a,b) и дифференцируема в этой точке, то f'(x) = 0.

Теорема Ролля: Если f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f(a) = f(b), то существует точка c ∈ (a,b) такая, что f'(c) = 0.

Теорема Лагранжа (о среднем): Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b), то существует c ∈ (a,b) такое, что

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)

Теорема Коши: Если f(x), g(x) непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), g'(x) ≠ 0, то существует c ∈ (a,b) такое, что

[f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)] = f'(c)/g'(c)

Правило Лопиталя: Для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞

lim_x→a f(x)/g(x) = lim_x→a f'(x)/g'(x)

Другие неопределённости:

• ∞ - ∞: привести к общему знаменателю
• 0·∞: представить как 0/0 или ∞/∞
• 0⁰, ∞⁰, 1^∞: прологарифмировать

Формула Тейлора:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n! + R_n(x)

Остаточный член в форме Пеано:

R_n(x) = o((x-a)ⁿ)

Формула Маклорена (a = 0):

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n! + o(xⁿ)

Асимптоты:

• Вертикальные: lim_x→a± f(x) = ∞
• Горизонтальные: lim_x→±∞ f(x) = b
• Наклонные: lim_x→±∞ f(x)/x = k, lim_x→±∞ (f(x) - kx) = b

Необходимое условие: Если f(x) монотонна на (a,b), то f'(x) ≥ 0 (возрастание) или f'(x) ≤ 0 (убывание).

Достаточное условие: Если f'(x) > 0 на (a,b), то f(x) возрастает; если f'(x) < 0, то убывает.

Экстремум: Точка x₀ - точка максимума (минимума), если ∃δ>0 ∀x∈(x₀-δ,x₀+δ): f(x) ≤ f(x₀) (f(x) ≥ f(x₀)).

Необходимое условие: Если x₀ - точка экстремума и f дифференцируема в x₀, то f'(x₀) = 0.

Стационарные точки: Точки, где f'(x) = 0.

Критические точки: Точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует.

Выпуклость вниз: f(x) ≤ (f(a) + f(b))/2 для ∀x между a,b.

Достаточное условие: Если f''(x) > 0 на (a,b), то f(x) выпукла вверх; если f''(x) < 0, то выпукла вниз.

Точка перегиба: Точка, где меняется направление выпуклости.

Необходимые условия: f''(x₀) = 0 или f''(x₀) не существует.